2025年是联合国确定的“国际量子技术年”，以纪念量子力学的理论体系建立一百周年。100年前的1925年9月到11月，德国物理学家维尔纳·海森伯等人以严谨的数学推导建立起了量子力学的基础。就在前天，为了呼应这个量子力学百年的主题，今年的诺贝尔物理学奖被授予了约翰·克拉克 （John Clarke）、米歇尔 ·H·德沃雷 （Michel H. Devoret）和约翰 ·M·马蒂尼斯 （John M. Martinis），以表彰他们在超导电路中发现了量子隧穿和能级量子化现象。那么，到底什么是量子力学？它和普通的力学问题有什么区别？在这篇文章中，我们就一起来动手求解一个量子物理问题，揭开量子力学的神秘面纱。

三位科学家因为在超导电路中发现量子隧穿和能量量子化而被授予2025年诺贝尔物理学奖

量子物理，里面有量子两个字，它是什么意思呢？通俗点说，量子就是“离散”的意思。什么是离散？不连续的，就叫离散。举个例子，人的身高，如果作为一个观测值，他就是连续的，因为没有什么能够阻止某个人的身高取到某个特定的值。与此相对的，衣柜里有几件衣服，这个变量就是离散的。因为这个变量只能取非负整数。如果我说衣柜里只有0.5件衣服，大概是一件非常奇怪的事情。量子物理，就是因为某些原因，一些物理量只能取离散值的物理。这可能仍然有点抽象，我们来看一个具体的例子，理解一下为什么一些物理量只能取离散值。我有一根弦，它的两端都是固定住的。这种弦很常见，在弦乐器比如吉他当中都有两端固定的弦。现在我弹拨这根弦，观察它振动的方式。可以看到，由于两端都被固定住，在端点处弦是被迫只能不动的，这叫做边界条件。在这个边界条件下，我们观察到，弦的振幅分布是有规律的，在某些位置，弦的振幅是0，并且这个位置是固定不动的。这些位置，叫做波节。而相邻两个波节之间，会有一个振幅极大的点，叫做波腹，它的位置也是固定不动的。随着我们弹拨的力道不同，激发出波节和波腹的数目会有变化，但是它们都是非负整数。把激发出波腹的数量作为一个物理量，叫做n，我们把n取不同值时观察到的情况画出来，它们可能是这样的（n=1），这样的（n=2），和，这样的（n=3）:

看到没有，在这里，我们就发现n被迫取离散值。而整一根震动的弦，它上的总能量等于弦上面每个质点动能和势能的和。因为允许存在的运动模式之间泾渭分明，并且可以用波腹的数目来刻画，因此这个弦的总能量允许取的值也是离散的，并且和波腹的数目n有关。通过这个问题的讨论，我们知道了，如果对一根弦施加两端固定这样的边界条件，那么得到的结果就是弦的总能量是离散的，是“量子化”的。这种现象，叫做能级的量子化。怎么用物理规律来定量解释这种现象呢？这时候就要上一点难度咯，如果假设弦的长度为L，在x位置，t时间，弦远离平衡位置的位移为u(x,t)，那么这个u它就满足这样一个波动方程：

并且需要满足如下的边界条件：

波动方程看起来不太好理解，但其实它的本质是牛顿第二定律：第一项刻画了弦上每一部分的加速度，第二项刻画了每一部分受到的弹性力。在没有外力作用时，这两项必须大小相等方向相反，所以加起来就等于0. 边界条件比较好理解，它告诉我们在两个端点处，在任意时间t，弦都没有离开平衡位置，即u=0. 在如此边界条件下，求解这个方程，就可以得到能级量子化的结果。记住这个在边界条件下求解偏微分方程的过程，后面我们还会再聊到这个话题。

好，现在我们已经知道了什么是能级量子化。那么，这个两端固定弦的自由振动，和量子力学又有什么关系呢？其实描述量子世界的“波函数”，它也遵循自己的波动方程，这就是“薛定谔方程”。薛定谔方程的形式，在空间只有一维时，长这样：

这个 Ψ(x,t)（Ψ读作“普赛”）叫做波函数，在这个方程中是被描述的主体。ℏ（读作h-bar）是约化普朗克常数，是一个在量子力学中常见的常数。i是虚数单位。也可以看出这个波函数，它的取值可以不是实数而是复数。这个形式可能有些让人害怕，但是其实它也并不难理解。这个等式的左边，计算的是这个波函数具有的能量；等式的右边，计算的则是动能加上势能。所以薛定谔方程，简单理解就是总能量，等于动能加上势能。如果不理解它的来龙去脉也没有关系，只要记住一点：它和前面提到的弦的振动一样，都是偏微分方程。而这个势能，在很多时候，都是用来给这个方程施加边界条件的。比如说，如果我让这个势能在一个小范围内取值为0，在这个范围以外取值为无限大。这种势能取值，叫做无限深势阱。它的图像就长这样：

这时候，由于在0到L的小范围之外，势能为无限大，波函数没办法“漏出去”，因此就带来了边界条件：

这或许会让你想起前面提到过的两端固定弦的自由振动，没错，它们其实满足相同的边界条件。在这个边界条件下，求解这个偏微分方程-薛定谔方程，得到的结果将是能级量子化的！这一点，和前面两端固定弦的自由振动，是非常类似的。这些解，以及它们所对应的能量，可以用这个图像来表示：

我们可以看到，这些被允许存在的波函数的振动模式，和前面提到的两端固定弦的自由振动，实际上一模一样。我们都可以用波腹的数目n来描述这些解，并且每个解对应的能量和n的平方成正比，也就是纵轴上的1，4，和9的来源，它们分别是1的平方，2的平方和3的平方。现在，我们自己动手解决了一个量子力学问题，可以看到量子力学其实没什么神秘的，量子化这件事情是在求解所谓的“本征值问题”时自然而然出现的，它的本质就是在特定的边界条件下，只有特定的振动模式才能存在，这些特定的模式带有的能量是离散的而不是连续的。那么，之前求解波动方程时，算出来的是位移，我们也能直观地看到这个随着时间和空间坐标的变化，那么这里求解的这个莫名其妙的它又是什么呢？我们能观察到它吗？这个问题问得非常好，在大约100年前，科学家们也为这个问题所困扰，甚至提出这个方程的薛定谔本人都回答不了这个问题。后来，在1926年，马克斯·波恩提出了概率幅解释，解决了这个问题。波恩认为，这个波函数，它模长的平方，代表了粒子在该特定时间和空间处被发现的概率密度：

所谓的概率密度，就是在时空坐标为(x,t)处，大小为( Δx,Δt)的小体积内，粒子被发现的概率为P(x,t) ΔxΔt。这里插一句，我们之前把这个函数叫做波函数，现在又把它和粒子扯上关系，那是不是代表了波粒二象性呢？没错！这个话题我们以后有机会还会再涉及到，这里先作为一个引子。回到之前提到的那些允许存在的波函数，它们对应的概率密度分布就长这样：

可以看到，所有的波节处，概率密度都为0，也就是说，在那里我们是不可能找到粒子的。而在波腹处，概率密度是极大，也就是在那里找到粒子的概率是最高的。既然涉及到概率了，就意味着量子力学就变成了一种度量不确定性的学问，这一点是让很多物理学家感到意外的。薛定谔一直无法接受这个概率幅解释。不光是薛定谔，包括爱因斯坦在内的很多物理学家都认为，让物理学和概率扯上关系是危险的，他们有一个说法叫做“上帝不掷骰子”。为了反驳这种概率幅诠释，他们提出了各种各样的思想实验，其中最著名的就是“薛定谔的猫”。关于波函数的概率诠释，以及更多相关的内容，包括薛定谔的猫的一些精彩的故事，我们后面有机会再作分享。

在文中，我们从一个生活中常见的物理现象，即两端固定弦的自由振动，出发，抽丝剥茧，找到一些物理量取离散值的例子。然后我们引出了薛定谔方程，它和自由振动的弦在本质上是一回事，因此也能找到相似的解，能量也就取离散的值。这种研究问题的方法，即从常见的现象出发，去类比我们不熟悉的现象和理论，在物理研究中非常常见。这种类比法，能帮助我们搞清楚很多事情的本质，理解光怪陆离，高深奥妙的理论背后隐藏的简单逻辑。